Question

在△ABC中，∠ABC=45°，∠ACB=60°，△ABC绕BC旋转一周，记以AB为母线的圆锥为M₁，记以AC为母线的圆锥为M₂，m是圆锥M₁任一母线，则圆锥M₂的母线中与m垂直的直线有________条．

Answer 1

2
分析：以圆锥底面圆心O为原点，建立空间直角坐标系，设圆锥M₁母线为BA，圆锥M₂的母线为CP，其中P（x，y，0），则有，通过方程解的个数确定直线条数．
解答：作AO⊥BC于O，设不妨设m=AB，以O为原点，建立空间直角坐标系．

设AB=1，，∠ABC=45°，则AO=BO=，又∠ACB=60°∴OC=，∴A（），B（0，0，）C（0，0，） P（x，y，0），=（-，0，），=（x，y，）
若母线AB⊥CP，则∴-x+×=0，解得x=，又P在以O为圆心的圆周上，∴x²+y²=，解得y=，
P有两个位置使母线AB⊥CP，即圆锥M₂的母线中与m垂直的直线有 两条．
故答案为：2
点评：本题考查直线垂直的判定，利用向量数量积运算，降低了思维难度，使问题容易获解．