Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知3（b²+c²）=3a²+2bc．
（Ⅰ）若sinB=

2

cosC，求tanC的大小；
（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积S=

2

2

，且b＞c，求b，c．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由3（b²+c²）=3a²+2bc，利用余弦定理，可得cosA，根据sinB=

2

cosC，即可求tanC的大小；
（Ⅱ）利用面积及余弦定理，可得b、c的两个方程，即可求得结论．

解答：解：（Ⅰ）∵3（b²+c²）=3a²+2bc，∴

b2+c2-a2

2bc

=

1

3

∴cosA=

1

3

，∴sinA=

2 2

3

∵sinB=

2

cosC，∴sin(A+C)=

2

cosC
∴

2 2

3

cosC+

1

3

sinC=

2

cosC
∴

2

3

cosC=

1

3

sinC
∴tanC=

2

；
（Ⅱ）∵ABC的面积S=

2

2

，∴

1

2

bcsinA=

2

2

，∴bc=

3

2

①
∵a=2，∴由余弦定理可得4=b²+c²-2bc×

1

3

∴b²+c²=5②
∵b＞c，∴联立①②可得b=

3 2

2

，c=

2

2

．

点评：本题考查余弦定理，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．