Question

在三棱锥P-ABC中，若O是底面ABC内部一点，满足

OA

+2

OB

+4

OC

=

0

，则

VP-AOB

VP-AOC

=（　　）

• A．

  3

  2

• B．5
• C．2
• D．

  5

  3

Answer 1

分析：作出△ABC，并延长OC到D，使

OD

=4

OC

，延长OB到E，使

OE

=2

OB

．可得S_△AOC=

1

4

S_△AOD，同理S_△AOB=

1

2

S_△AOE，因为△AOE的面积与△AOD的面积都等于平行四边形OEFD面积的一半，所以S_△AOC=

1

2

S_△AOB，可得

S△AOB

S△AOC

=2，最后利用体积公式可求所求．

解答：解：∵

OA

+2

OB

+4

OC

=

0

，∴-

OA

=2

OB

+4

OC

延长OC到D，使

OD

=4

OC

，延长OB到E，使

OE

=2

OB

以OD、OE为邻边作平行四边形OEFD，可得

OF

=

OD

+

OE

∴

OA

、

OF

互为相反向量，得O为AF的中点
∵△AOD中，

OC

=

1

4

OD

，
∴△AOC的面积S_△AOC=

1

4

S_△AOD，同理可得S_△AOB=

1

2

S_△AOE
∵S_△AOD=S_△AOE=

1

2

S_{平行四边形OEFD}，
∴S_△AOC=

1

2

S_△AOB，可得

S△AOB

S△AOC

=2

VP-AOB

VP-AOC

=

1 3 ×S△AOB×h

1 3 ×S△AOC×h

=

S△AOB

S△AOC

=2
故选C

点评：本题给出三角形ABC内部一点O满足特殊的向量等式，求两个小三角形的面积比，着重考查了平面向量的线性运算和向量在几何中的应用等知识点，属于中档题．