Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的任意一点到它的两个焦点F₁（-c，0），F₂（c，0）（c＞0）的距离之和为2

2

，且其焦距为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知直线x-y+m=0与椭圆C交于不同的两点A，B．问是否存在以A，B为直径的圆过椭圆的右焦点F₂．若存在，求出m的值；不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用椭圆上的任意一点到它的两个焦点的距离之和为2

2

，且其焦距为2，建立方程组，求得几何量，从而可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，及向量知识，即可求得结论．

解答：解：（Ⅰ）依题意可知

2a=2 2 2c=2

又b²=a²-c²，解得

a= 2 b=1

------------------（2分）
则椭圆方程为

x2

2

+y2=1．---------------------（4分）
（Ⅱ）联立方程

x2 2 +y2=1 x-y+m=0

消去y整理得：3x²+4mx+2m²-2=0（6分）
则△=16m²-12（2m²-2）=8（-m²+3）＞0
解得-

3

＜m＜

3

①--------------------（7分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

-4m

3

，x1x2=

2m2-2

3

，
又F₂（1，0），∴

F2A

=(x1-1，y1)，

F2B

=(x2-1，y2)
若存在，则

F2A

•

F2B

=0，即：（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=0，∴x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂=0②
又y₁=x₁+m，y₂=x₂+m，∴y1y2=x1x2+m(x1+x2)+m2
代入②有2x1x2+(m-1)(x1+x2)+m2+1=0
∴2×

2m2-2

3

+(m-1)(-

4m

3

)+m2+1=0，
解得m=-

7 +2

3

或m=

7 -2

3

------------------（11分）
检验都满足①，∴m=

-2± 7

3

------------------（12分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．