【题目】某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式:y= +10(x﹣6)2 , 其中3<x<6,a为常数,已知销售的价格为5元/千克时,每日可以售出该商品11千克.
(1)求a的值;
(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大,并求出最大值.
【答案】
(1)解:因为x=5时,y=11,
y= +10(x﹣6)2,其中3<x<6,a为常数.
所以 +10=11,故a=2;
(2)解:由(1)可知,该商品每日的销售量y= +10(x﹣6)2,
所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)=(x﹣3)[ +10(x﹣6)2]
=2+10(x﹣3)(x﹣6)2,3<x<6.
从而,f′(x)=10[(x﹣6)2+2(x﹣3)(x﹣6)]=30(x﹣6)(x﹣4),
于是,当x变化时,f(x)、f′(x)的变化情况如下表:
x | (3,4) | 4 | (4,6) |
f'(x) | + | 0 | ﹣ |
f(x) | 单调递增 | 极大值42 | 单调递减 |
由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点.
所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42.
答:当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大
【解析】(1)由x=5时,y=11,代入函数的解析式,解关于a的方程,可得a值;(2)商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润,可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数,再用求导数的方法讨论函数的单调性,得出函数的极大值点,从而得出最大值对应的x值.
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【题目】设等差数列{an}满足(1﹣a1008)5+2016(1﹣a1008)=1,(1﹣a1009)5+2016(1﹣a1009)=﹣1,数列{an}的前n项和记为Sn , 则( )
A.S2016=2016,a1008>a1009
B.S2016=﹣2016,a1008>a1009
C.S2016=2016,a1008<a1009
D.S2016=﹣2016,a1008<a1009
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【题目】已知圆与圆
(1)若直线与圆
相交于
两个不同点,求
的最小值;
(2)直线上是否存在点
,满足经过点
有无数对互相垂直的直线
和
,它们分别与圆
和圆
相交,并且直线
被圆
所截得的弦长等于直线
被圆
所截得的弦长?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知半径为的圆的圆心在
轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线
相切.
(Ⅰ)求圆的方程;
(Ⅱ)设直线
与圆相交于
两点,求实数
的取值范围;
(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,是否存在实数,使得弦
的垂直平分线
过点
,若存在,求出实数
的值;若不存在,请说明理由
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【题目】在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(﹣1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( ) 附:若X~N(μ,σ2),则P(μ﹣σ<X<μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<X<μ+2σ)=0.9544.
A.1 193
B.1 359
C.2 718
D.3 413
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【题目】已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f'(x)<f(x)对任意的x∈R恒成立,则下列不等式均成立的是( )
A.f(ln2)<2f(0),f(2)<e2f(0)
B.f(ln2)>2f(0),f(2)>e2f(0)
C.f(ln2)<2f(0),f(2)>e2f(0)
D.f(ln2)>2f(0),f(2)<e2f(0)
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【题目】如图,已知椭圆C1: +y2=1,双曲线C2:
﹣
=1(a>0,b>0),若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A,B两点,且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分,则C2的离心率为( )
A.9
B.5
C.
D.3
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