Question

已知函数f（x）=lnx﹣ax²+（2﹣a）x．
（I）讨论f（x）的单调性；
（II）设a＞0，证明：当0＜x＜时，f（+x）＞f（﹣x）；
（III）若函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x₀，证明：f'（ x₀）＜0．

Answer 1

解：（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f'（x）==﹣，
①若a＞0，则由f'（x）=0，得x=，且当x∈（0，）时，f'（x）＞0，
当x∈（，+∞）时，f'（x）＜0，所以f（x）在（0，）单调递增，在（，+∞）上单调递减；
②当a≤0时，f（x）＞0恒 成立，因此f（x）在（0，+∞）单调递增；
（II）设函数g（x）=f（+x）﹣f（﹣x），则g（x）=ln（1+ax）﹣ln（1﹣ax）﹣2ax，
g'（x）==，
当x∈（0，）时，g'（x）＞0，而g（0）=0，所以g（x）＞0，
故当0＜x＜时，f（+x）＞f（﹣x）；
（III）由（I）可得，当a≤0时，函数y=f（x）的图象与x轴至多有一个交点，
故a＞0，从而f（x）的最大值为f（），且f（）＞0，
不妨设A（x₁，0），B（x₂，0），0＜x₁＜x₂，则0＜x₁＜＜x₂，
由（II）得，f（﹣x₁）=f（）＞f（x₁）=f（x₂）=0，又f（x）在（，+∞）单调递减，
∴﹣x₁＜x₂，于是x₀=，
由（I）知，f'（ x₀）＜0．