Question

6．已知函数f（x）=x²+ax+b，x∈[-5，5]．
（1）若函数f（x）图象过点（1，0）和（3，0）．求f（-1）的值．
（2）当a=-2，b=-5时．求函数f（x）的单调区间和值域．
（3）若函数f（x）在[-5，5]上增函数．求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由函数f（x）图象过点（1，0）和（3，0）．求出a，b值，得到函数的解析式，将x=-1代入可得答案；
（2）当a=-2，b=-5时，函数f（x）=x²-2x-5的图象是开口朝上，且以x=1为对称轴的抛物线，结合二次函数的图象和性质，可得函数f（x）的单调区间和值域．
（3）若函数f（x）在[-5，5]上增函数，则$-\frac{a}{2}$≤-5，解得a的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x²+ax+b，x∈[-5，5]的图象过点（1，0）和（3，0）．
∴$\left\{\begin{array}{l}a+b+1=0\\ 3a+b+9=0\end{array}\right.$，
解得：a=-4，b=3，
∴f（x）=x²-4x+3，
∴f（-1）=8．
（2）当a=-2，b=-5时．函数f（x）=x²-2x-5，x∈[-5，5]．
∵y=x²-2x-5的图象是开口朝上，且以x=1为对称轴的抛物线，
∴f（x）=x²-2x-5，x∈[-5，5]的单调递减区间为[-5，1]，单调递增区间为[1，5]，
当x=-5时，函数取最大值30，当x=1时，函数取最小值-6，
故函数f（x）的值域为[-6，30]．
（3）函数f（x）=x²+ax+b的图象是开口朝上，且以x=$-\frac{a}{2}$为对称轴的抛物线，
若函数f（x）在[-5，5]上增函数．
则$-\frac{a}{2}$≤-5，
解得：a≥10．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．