Question

17．在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．
（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；
（Ⅱ）已知EF=FB=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{3}$，AB=BC，求二面角F-BC-A的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH，推导出平面GQH∥平面ABC，由此能证明GH∥平面ABC．
（Ⅱ）由AB=BC，知BO⊥AC，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F-BC-A的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH，
∵G、H为EC、FB的中点，
∴GQ$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}EF$，QH$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}BC$，
又∵EF∥BO，∴GQ∥BO，
∴平面GQH∥平面ABC，
∵GH?面GQH，∴GH∥平面ABC．
解：（Ⅱ）∵AB=BC，∴BO⊥AC，
又∵OO′⊥面ABC，
∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（$2\sqrt{3}$，0，0），C（-2$\sqrt{3}$，0，0），B（0，2$\sqrt{3}$，0），O′（0，0，3），F（0，$\sqrt{3}$，3），
$\overrightarrow{FC}$=（-2$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$，-3），$\overrightarrow{CB}$=（2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$，0），
由题意可知面ABC的法向量为$\overrightarrow{O{O}^{'}}$=（0，0，3），
设$\overrightarrow{n}$=（x₀，y₀，z₀）为面FCB的法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-2\sqrt{3}{x}_{0}-\sqrt{3}{y}_{0}-3{z}_{0}=0}\\{2\sqrt{3}{x}_{0}+2\sqrt{3}{y}_{0}=0}\end{array}\right.$，
取x₀=1，则$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
∴cos＜$\overrightarrow{O{O}^{'}}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{O{O}^{'}}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{O{O}^{'}}|•|\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{\sqrt{7}}{7}$．
∵二面角F-BC-A的平面角是锐角，
∴二面角F-BC-A的余弦值为$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．