Question

15．在棱长为1的正方体ABCD-A'B'C'D'中，E为棱BB'的中点．
（1）三棱锥D'-A'AE的体积为$\frac{1}{6}$；
（2）若点M是棱CD上的中点，求证：D'M⊥DE．

Answer 1

分析 （1）三棱锥D'-A'AE的体积V=$\frac{1}{3}×{S}_{△A{A}^{'}E}×{A}^{'}{D}^{'}$，由此能求出结果．
（2）取CC′中点G，连接DG，推导出D'M⊥DG，EG⊥D'M，从而D'M⊥平面DEG，由此能证明D'M⊥DE．

解答 解：（1）∵在棱长为1的正方体ABCD-A'B'C'D'中，E为棱BB'的中点，
∴${S}_{△A{A}^{'}E}$=$\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{2}$，A′D′=1，
∴三棱锥D'-A'AE的体积：
V=$\frac{1}{3}×{S}_{△A{A}^{'}E}×{A}^{'}{D}^{'}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1$=$\frac{1}{6}$．…（2分）
故答案为：$\frac{1}{6}$．
证明：（2）点M是棱CD上的中点，
取CC′中点G，连接DG，
则△D′DM≌△DCG，$∠D'MD+∠CDG=\frac{π}{2}$
∴D'M⊥DG，
又∵EG∥BC，EG⊥D'M，且DG∩EG=G
∴D'M⊥平面DEG，DE?平面DEG，∴D'M⊥DE．…（5分）

点评 本题考查三棱锥的体积的求法，考查线线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．