Question

已知双曲线，的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，点P的坐标为（0，-2），过P的直线l与双曲线C交于不同两点M、N．
（1）求双曲线C的方程；
（2）求t=的取值范围（O为坐标原点）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，建立方程，即可求得双曲线C的方程；
（2）假设直线方程，与双曲线方程联立，分类讨论，利用坐标表示向量的数量积，从而可确定t=的取值范围．
解答：解：（1）双曲线的右焦点为（c，0），一条渐近线方程为：bx-ay=0
∵双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为
∴
∵c²=a²+b²
∴b²=12，a²=4
∴双曲线C的方程为…（4分）
（2）点P的坐标为（0，-2），设过P的直线l的方程为y=kx-2，与双曲线方程联立可得
消去y可得（3-k²）x²+4kx-16=0…（5分）
（1）3-k²=0，不符合题意，舍去…（6分）
（2）3-k²≠0时，△=16（12-3k²）＞0得k²＜4
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则，…（8分）
∴y₁y₂=（kx₁-2）（kx₂-2）=k²x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=
∴t==x₁x₂+y₁y₂==
∵k²＜4，3-k²≠0
∴3-k²＞-1，3-k²≠0
∴或
∴或
∴t＞52或…（12分）
点评：本题重点考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查向量的数量积，解题的关键是直线与双曲线方程的联立，将数量积转化为坐标关系．