Question

12．已知f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+4}$（x＞0），若数列{a_n}满足a₁=2，a_n=f（a_n-1），n∈N^*，且n≥2，求此数列的通项公式．

Answer 1

分析 通过a_n=$\sqrt{{{a}_{n-1}}^{2}+4}$（n≥2）可知${{a}_{n+1}}^{2}$=${{a}_{n}}^{2}$+4，进而可知数列{${{a}_{n}}^{2}$}是以首项、公差均为4的等差数列，计算即得结论．

解答 解：依题意，a_n＞0，
∵a_n=$\sqrt{{{a}_{n-1}}^{2}+4}$（n≥2），
∴${{a}_{n+1}}^{2}$=${{a}_{n}}^{2}$+4，
又∵${{a}_{1}}^{2}$=4，
∴数列{${{a}_{n}}^{2}$}是以首项、公差均为4的等差数列，
∴${{a}_{n}}^{2}$=4n，
∴a_n=2$\sqrt{n}$．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．