Question

若不等式

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n+1

＞

a

24

对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明结论．

Answer 1

分析：直接利用数学归纳法的证明步骤，通过n=1，假设n=k时等式成立，证明n=k+1时等式也成立，即可证明结果．

解答：解：当n=1时，

1

1+1

+

1

1+2

+

1

3+1

＞

a

24

，即

26

24

＞

a

24

，所以a＜26．
而a是正整数，所以取a=25，…（4分）
下面用数学归纳法证明：

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n+1

＞

25

24

．
（1）当n=1时，已证；…（5分）
（2）假设当n=k时，不等式成立，即

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

3k+1

＞

25

24

．…（7分）
则当n=k+1时，有

1

(k+1)+1

+

1

(k+1)+2

+…+

1

3(k+1)+1

=

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

3k+1

+

1

3k+2

+

1

3k+3

+

1

3k+4

-

1

k+1

＞

25

24

+

1

3k+2

+

1

3k+4

-

2

3(k+1)

．                                …（9分）
因为

1

3k+2

+

1

3k+4

=

6(k+1)

9k2+18k+8

＞

2

3(k+1)

，
所以

1

3k+2

+

1

3k+4

-

2

3(k+1)

＞0．
所以当n=k+1时不等式也成立．                  …（12分）
由（1）（2）知，对一切正整数n，都有

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n+1

＞

25

24

；…（13分）

点评：本题考查数学归纳法证明等式的步骤，注意证明n=k+1时必须用上假设，注意证明的方法，考查计算能力．