Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c满足：f（1）=3，且f（x）在R上为奇函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+f(

3

n

)+…+f(

n

n

)，若不等式

mn

Sn

＜

mn+1

Sn+1

对n∈N⁺恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若数列{a_n}，{b_n}满足：a₁=1，an+1=

f(an)

2f(an)+3

；b₁=1，bn+1-bn=

1

an

，记g(n)=

1 a n，(n为奇数) bn，(n为偶数)

，问是否存在k∈N，使g（k+1）=2g（k）成立，若存在，求出k值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）要求函数f（x）的解析式，只需找到关于a，b，c的三个方程，解方程组即可．由题意可由f（1）=3，且f（x）在R上为奇函数得．
（2）先用等差数列前n项和公式求S_n，得，S_n=

3(n+1)

2

，这时不等式

mn

Sn

＜

mn+1

Sn+1

可化为

mn

3(n+1) 2

＜

mn+1

3(n+2) 2

，在用作差法解不等式即可．
（3）分别用构造法和累加法求数列{a_n}，{b_n}的通项公式，再代入g(n)=

1 a n，(n为奇数) bn，(n为偶数)

，然后假设存在k∈N，使g（k+1）=2g（k）成立，分k为奇数和偶数时求k的值．

解答：解：（1）由题意的，f（1）=a+b-c=3，f（-x）=f（x）对任意x∈R都成立，得f（x）=3x．
（2）Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+f(

3

n

)+…+f(

n

n

)=3（

1

n

+

2

n

+

3

n

+…+

n

n

）=

3

2

（1+n），
∵

mn

Sn

＜

mn+1

Sn+1

化为

mn

3(n+1) 2

＜

mn+1

3(n+2) 2

，即

2

3

mn(

1

n+1

-

m

n+2

)＜0对任意n∈N⁺恒成立，显然m≤0不成立．
当m＞0时，mⁿ＞0，
∴

1

n+1

-

m

n+2

＜0对任意n∈N⁺恒成立，
∴m＞

n+2

n+1

对任意n∈N⁺恒成立．而

n+2

n+1

的最大值为

3

2

，
∴m＞

3

2

．
（3）由a₁=1，an+1=

f(an)

2f(an)+3

，可得

1

an+1

-

1

an

=2，
∴数列{

1

an

}是首项为1，公差为2的等差数列，∴

1

an

=2n-1．
由b₁=1，bn+1-bn=

1

an

，用累加法可得b_n=（n-1）²+1，
∴g(n)=

1 a n，(n为奇数) bn，(n为偶数)

=

2n-1         (n为奇数) (n-1)2+1   (n为偶数)

，
 当k为奇数时，g（k+1）=2g（k），（k+1-1）²+1=2（2k+1）得，k=1或k=3．
当k为偶数时，2k²-6k+3=0无偶数解．
综上，存在k=1或k=3满足条件．

点评：本题是数列，函数，不等式的综合应用，考查面广，须认真审题，找到个知识点的突破口．