Question

18．已知x＞$\frac{1}{2}$，y＞1且xy=e，求t=（2x）^lny的最大值．

Answer 1

分析 x＞$\frac{1}{2}$，y＞1且xy=e，可得2x=$\frac{2e}{y}$．对t=（2x）^lny两边取对数可得：lnt=lnyln（2x）=lny•$ln\frac{2e}{y}$=-$（lny-\frac{1+ln2}{2}）^{2}$+$\frac{（1+ln2）^{2}}{4}$，利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：∵x＞$\frac{1}{2}$，y＞1且xy=e，
∴2x=$\frac{2e}{y}$．
对t=（2x）^lny两边取对数可得：lnt=lnyln（2x）=lny•$ln\frac{2e}{y}$=lny（1+ln2-lny）=-ln²y+（1+ln2）lny=-$（lny-\frac{1+ln2}{2}）^{2}$+$\frac{（1+ln2）^{2}}{4}$≤$\frac{（1+ln2）^{2}}{4}$，
∴$t≤{e}^{\frac{（1+ln2）^{2}}{4}}$．当且仅当y=${e}^{\frac{1+ln2}{2}}$，x=${e}^{\frac{1-ln2}{2}}$时取等号．
∴t=（2x）^lny的最大值为${e}^{\frac{（1+ln2）^{2}}{4}}$．

点评 本题考查了对数的运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．