Question

10．在△ABC中，已知$\frac{tanA-tanB}{tanA+tanB}$=$\frac{c-b}{c}$，求A的值．

Answer 1

分析 已知等式左边利用同角三角函数间的基本关系及两角和与差的正弦函数公式化简，右边利用正弦定理化简，根据sin（A+B）=sinC，得到sinB=sin（A+B）-sin（A-B），整理求出cosA的值，即可确定出A的度数．

解答 解：在△ABC中，$\frac{tanA-tanB}{tanA+tanB}$=$\frac{c-b}{c}$，
整理得：$\frac{\frac{sinA}{cosA}-\frac{sinB}{cosB}}{\frac{sinA}{cosA}+\frac{sinB}{cosB}}$=$\frac{sinAcosB-cosAsinB}{sinAcosB+cosAsinB}$=$\frac{sin（A-B）}{sin（A+B）}$，$\frac{c-b}{c}$=$\frac{sinC-sinB}{sinC}$，
∴$\frac{sin（A-B）}{sin（A+B）}$=$\frac{sinC-sinB}{sinC}$，
∵sin（A+B）=sinC，
∴sin（A-B）=sinC-sinB=sin[π-（A+B）]-sinB=sin（A+B）-sinB，
整理得：sinB=sin（A+B）-sin（A-B）=sinAcosB+cosAsinB-sinAcosB+cosAsinB=2cosAsinB，
∵sinB≠0，∴cosA=$\frac{1}{2}$，
则A=$\frac{π}{3}$．

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．