Question

9．下列函数中，当0＜x₁＜x₂＜1时，满足x₂f（x₁）＜x₁f（x₂）的函数是（　　）

• A． f（x）=-x³
• B． f（x）=lnx
• C． f（x）=x²+1
• D． f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x

Answer 1

分析 由条件结合单调性的定义可得函数y=$\frac{f（x）}{x}$在（0，1）为增函数．对选项一一加以分析，运用导数，判断（0，1）内导数符号，即可判断单调性．

解答 解：当0＜x₁＜x₂＜1时，满足x₂f（x₁）＜x₁f（x₂）即为
$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$＜$\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{2}}$，
由单调性定义可得，y=$\frac{f（x）}{x}$在（0，1）为增函数．
对于A，$\frac{f（x）}{x}$=-x²在（0，1）递减，不满足条件；
对于B，$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{lnx}{x}$的导数为$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，在（0，1）内导数为正，即有$\frac{f（x）}{x}$在（0，1）递增，满足条件；
对于C，$\frac{f（x）}{x}$=x+$\frac{1}{x}$的导数为1-$\frac{1}{{x}^{2}}$，在（0，1）内导数为负，即有$\frac{f（x）}{x}$在（0，1）递减，不满足条件；
对于D，$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{（\frac{1}{2}）^{x}}{x}$的导数为$\frac{（\frac{1}{2}）^{x}（xln\frac{1}{2}-1）}{x}$，在（0，1）内导数为负，即有$\frac{f（x）}{x}$在（0，1）递减，不满足条件．
故选：B．

点评 本题考查导数的运用：判断单调性，同时考查函数的单调性的运用，注意构造函数和正确求导是解题的关键．