Question

如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，且AB=BC=CA=

3

，AD=CD=1．
（1）求证：BD⊥AA₁；
（2）在棱BC上取一点E，使得AE∥平面DCC₁D₁，求

BE

EC

的值．

Answer 1

分析：（1）利用面面垂直的性质，证明BD⊥平面AA₁C₁C，可得BD⊥AA₁；
（2）点E为BC中点，即

BE

EC

=1，再证明AE∥DC，利用线面平行的判定，可得AE∥平面DCC₁D₁．

解答：（1）证明：在四边形ABCD中，因为BA=BC，DA=DC，所以BD⊥AC．
因为平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，且平面AA₁C₁C∩平面ABCD=AC，BD?平面ABCD，
所以BD⊥平面AA₁C₁C，
因为AA₁?平面AA₁C₁C，
所以BD⊥AA₁；
（2）解：点E为BC中点，即

BE

EC

=1，
下面给予证明：在三角形ABC中，因为AB=AC，E为BC中点，所以AE⊥BC，
又在四边形ABCD中，AB=BC=CA=

3

，DA=DC=1，所以∠ACB=60°，∠ACD=30°，
所以DC⊥BC，即平面ABCD中有，AE∥DC．
因为DC?平面DCC₁D₁，AE?平面DCC₁D₁，
所以AE∥平面DCC₁D₁．

点评：本题考查面面垂直的性质，考查线面平行的判定，考查学生分析解决问题的能力，正确运用面面垂直的性质，线面平行的判定是关键．