Question

如图，在斜三棱柱中，侧面，，，底面是边长为的正三角形，其重心为点，是线段上一点，且．

（1）求证：侧面；
（2）求平面与底面所成锐二面角的正切值．

Answer 1

（1）证明：连接并延长与交于点，则由题
意及相似关系可知点为的中点，所以三点共线，
从而可得，因此侧面；
（2）．

解析试题分析：（1）要证明直线侧面，即证明平行于侧面的某条直线，而由题意及相似关系易知，即可证明之；
（2）这问的关键是找出平面与底面所成二面角的平面角，由侧面底面知，过点作的垂线与的延长线交于点，则平面，经过点作的垂线与的延长线交于点，则，于是即为所求二面角的平面角，然后根据相似关系可求该二面角的平面角的正切值．

试题解析：（1）证明：连接并延长与交于点，则由题意及相似关系可知点为的中点，
所以三点共线，从而可得，因此侧面．
（2）经过点作的垂线与的延长线交于点，则平面，经过点作的垂线与的延长线交于点，则，所以即为所求二面角的平面角且，则，并由相似关系得：，故，即为所求二面角的正切值．
考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定．