Question

9．已知M⊆{1，2，3，4，5}，若M中所有元素之和称为M的“容量”（规定空集容量为0），若M的容量为奇（偶）数，则称M为奇（偶）子集．求证：
（1）M的奇子集与偶子集个数相等：
（2）奇子集与偶子集容量相等．

Answer 1

分析 ①设S为M的奇子集，根据奇子集和偶子集的定义，得到奇子集和偶子集之间的关系，分析即可证得结论；
②求得奇子集的容量之和，从而得到偶子集的容量之和，即可得到结论．

解答 解：①设S为M的奇子集，令T是偶子集，A→T是奇子集的集到偶子集的一一对应，而且每个偶子集T，均恰有一个奇子集与之对应，故T的奇子集与偶子集个数相等，正确；
②对任一i（1≤i≤5），含i的子集共有2⁴个，M的奇子集与偶子集个数相等可知，
在i≠1时，这2⁴个子集中有一半是奇子集，
在i=1时，同样可得其中有一半是奇子集，
于是在计算奇子集容量之和时，奇子集容量之和是$\sum_{i=1}^{5}$2³i=120，
根据上面所说，这也是偶子集的容量之和，两者相等，
故M的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和．

点评 本题考查集合的子集，是新定义的题型，关键是正确理解奇、偶子集与容量的概念．在解答过程当中充分体现了新定义问题的规律、列举的方法还有问题转化的思想．值得同学们体会反思．属于难题．