Question

【题目】函数f(x)的定义域D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D.有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．

(1)求f(1)的值；

(2)判断f(x)的奇偶性并证明；

(3)如果f(4)＝1，f(3x+1)＋f(2x-6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）0（2）偶函数（3）{x|－≤x<－或－<x<3或3<x≤5}．

【解析】

（1）利用赋值法求结果，（2）利用赋值法，结合奇偶性定义进行证明，（3）根据赋值法得f(16×4)＝3，再利用单调性化简不等式为0<|(3x＋1)(2x－6)|≤64,最后解不等式得结果.

(1)令x1＝x2＝1，

有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.

(2)f(x)为偶函数，证明如下：

令x1＝x2＝－1，

有f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，解得f(－1)＝0.

令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，

∴f(－x)＝f(x)．∴f(x)为偶函数．

(3)f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，

f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3.

由f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，

变形为f[(3x＋1)(2x－6)]≤f(64)．(*)

∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．

∴不等式(*)等价于f[|(3x＋1)(2x－6)|]≤f(64)．

又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，

∴|(3x＋1)(2x－6)|≤64，且(3x＋1)(2x－6)≠0.

解得－≤x<－或－<x<3或3<x≤5.

∴x的取值范围是{x|－≤x<－或－<x<3或3<x≤5}．