Question

已知M、N两点的坐标分别是M（1+cos2x，1）、N（1，sin2x+a）（x，a∈R,a是常数），令f(x)=·(O是坐标原点）.

（1）求函数f(x)的解析式，并求函数f(x)在[0，π]上的单调递增区间；

（2）当x∈［0,］时，f(x)的最大值为4,求a的值，并说明此时f(x)的图象可由函数y=2sin(x+)的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到.

Answer 1

解：（1）y=·=1+cos2x+sin2x+a.

∴f(x)=1+cos2x+sin2x+a=2sin(2x+)+a+1.

由2kπ-≤2x+≤2kπ+,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.

∴f(x)在［0,π］上的单调递增区间为[0，]和[,π].

（2）f(x)=2sin(2x+)+a+1,x∈［0,］，2x+∈［,］,2sin(2x+)∈［-1,2］，

∴当x=时，f(x)取最大值a+3=4.解得a=1,f(x)=2sin(2x+)+2.

将y=2sin(x+)的图象的每一点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标保持不变，再向上平移2个单位长度，得f(x)=2sin(2x+)+2的图象.