Question

已知M、N两点的坐标分别是M(1+cos2x,1)、N(1,sin2x+a)(x,a∈R,a是常数),令f(x)=·(O是坐标原点).

(1)求函数f(x)的解析式,并求函数f(x)在［0,π］上的单调递增区间;

(2)当x∈［0,］时,f(x)的最大值为4,求a的值,并说明此时f(x)的图象可由函数y=2sin(x+)的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到.

Answer 1

解:(1)y=·=1+cos2x+sin2x+a,

∴f(x)=1+cos2x+3sin2x+a=2sin(2x+)+a+1.

由2kπ-≤2x+≤2kπ+,得kπ≤x≤kπ+,k∈Z.

∴f(x)在［0,π］上的单调递增区间为［0,］和［,π］.

(2)f(x)=2sin(2x+)+a+1,x∈［0, ］,2x+∈［,］,2sin(2x+)∈［-1,2］,

∴当x=时,f(x)取最大值a+3=4.解得a=1,f(x)=2sin(2x+)+2.

将y=2sin(x+)的图象上的每一点的横坐标缩短到原来的一半,纵坐标保持不变,再向上平移2个单位长度,得f(x)=2sin(2x+)+2的图象.