Question

如图所示，在边长为60 cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虚线折起，做成一个无盖的长方体箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？

Answer 1

箱子底边长取40 cm时，容积最大，最大容积为16 000 cm³.

解析试题分析：设箱子的底边长为x cm，则箱子高h＝cm.
箱子容积V＝V(x)＝x²h＝ (0<x<60)．
求V(x)的导数，得V′(x)＝60x－x²＝0，
解得x₁＝0(不合题意，舍去)，x₂＝40.
当x在(0,60)内变化时，导数V′(x)的正负如下表：

x	(0,40)	40	(40,60)
V′(x)	＋	0	－

因此在x＝40处，函数V(x)取得极大值，并且这个极大值就是函数V(x)的最大值．
将x＝40代入V(x)
得最大容积V＝40²×＝16 000(cm³)．
所以箱子底边长取40 cm时，容积最大，最大容积为16 000 cm³.
考点：本题主要考查函数模型，应用导数研究函数的单调性、最值。
点评：典型题，本题属于函数及导数应用中的基本问题，通过研究构建函数函数模型，利用导数求函数的最值。关于函数应用问题的考查，在高考题中往往是“一大两小”。构建函数模型的步骤“审清题意、设出变量、确定函数、求解答案、写出结语”。本题利用均值定理，确定函数的最值。