【题目】已知函数.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间;
(2)求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的取值集合.
【答案】(1)最小正周期Tπ, 单调递减区间为[
,
],(k∈Z).(2)最大值为
, x的取值集合为:{x|x
,k∈Z}.
【解析】
(1)将,利用两角和与差的正弦公式转化为:
sin(2x
),再利用正弦函数的性质求解.
(2)利用正弦函数的性质,当 ,k∈Z时,函数f(x)取得最大值求解.
(1)∵函数
=2(sinxcos
cosxsin
)cosx﹣1
=2sinxcosx+2cos2x﹣1
=sin2x+cos2x
sin(2x
),
∴函数f(x)的最小正周期Tπ,
由2k
,k∈Z,
解得函数f(x)的单调递减区间为[,
],(k∈Z).
(2)∵f(x),
∴函数f(x)的最大值为,
取得最大值时x的取值集合满足:,k∈Z.
解得x,k∈Z.
∴函数f(x)取得最大值时x的取值集合为:{x|x,k∈Z}.
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【题目】已知圆,直线
与圆
相交于不同的两点
,点
是线段
的中点。
(1)求直线的方程;
(2)是否存在与直线平行的直线
,使得
与与圆
相交于不同的两点
,
不经过点
,且
的面积
最大?若存在,求出
的方程及对应的
的面积S;若不存在,请说明理由。
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【题目】如图在直三棱柱ABC A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC=CC1,设AB1的中点为D,B1C∩BC1=E.
(1)求证:DE∥平面AA1C1C;
(2) 求证:BC1⊥AB1;
(3)设AC=BC=CC1 =1,求锐二面角A- B1C- A1的余弦值。
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【题目】设函数.
(1)若函数是R上的单调函数,求实数a的取值范围;
(2)设a=,
(
,
),
是
的导函数.①若对任意的x>0,
>0,求证:存在
,使
<0;②若
,求证:
<
.
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【题目】某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额
成正比,且投资1万元时的收益为
万元,投资股票等风险型产品的收益
与投资额
的算术平方根成正比,且投资1万元时的收益为0.5万元,
(1)分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系;
(2)该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎样分配资金能使投资获得最大收益,其最大收益为多少万元?
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