Question

9．如图，已知正四棱锥P-ABCD中，AB=4，高$h=2\sqrt{2}$，点M是侧棱PC的中点，则异面直线BM与AC所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

Answer 1

分析 以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BM与AC所成角的余弦值．

解答 解：如图，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
B（0，2$\sqrt{2}$，0），A（2$\sqrt{2}$，0，0），C（-2$\sqrt{2}$，0，0），
P（0，0，2$\sqrt{2}$），M（-$\sqrt{2}$，0，$\sqrt{2}$），
$\overrightarrow{BM}$=（-$\sqrt{2}$，-2$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{AC}$=（-4$\sqrt{2}$，0，0），
设异面直线BM与AC所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{BM}|•|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{8}{\sqrt{12}•4\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
∴异面直线BM与AC所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．