Question

已知各项均为正数的数列{a_n}满足a_n+2+2

anan+2

=4a_n+1-a_n（n∈N^*），且a₁=1，a₂=4．
（Ⅰ）证明：数列{

an

}是等差数列；
（Ⅱ）设b_n=

2n+1

anan+1

的前项n和为S_n，求证：S_n＜1．

Answer 1

考点：数列递推式,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）通过已知条件，利用配方法推出等差数列的等差中项形式，判断数列是等差数列．
（Ⅱ）求出数列{a_n}的通项公式，然后利用裂项法求解S_n，即可推出所证明的不等式．

解答： 解：（Ⅰ）∵an+2+2

anan+2

+an=4an+1且a_n＞0，
∴(

an+2

+

an

)2=(2

an+1

)2，
∴

an+2

+

an

=2

an+1

，
∴{

an

}是首项为

a1

=1，公差为

a2

-

a1

=1的等差数列． 
（Ⅱ）由（Ⅰ）得

an

=1+(n-1)×1=n，  an=n2，
∴bn=

2n+1

n2(n+1)2

=

1

n2

-

1

(n+1)2

，
∴Sn=1-

1

22

+

1

22

-

1

32

+…+

1

n2

-

1

(n+1)2

=1-

1

(n+1)2

＜1．

点评：本题考查数列的递推关系式的应用，数列的求和以及数列是等差数列的判定，考查计算能力以及转化思想的应用．