Question

3．在△ABC中，cosB=-$\frac{5}{13}$，sinC=$\frac{3}{5}$
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）若△ABC的面积S${\;}_{△ABC}=\frac{33}{2}$，求BC的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，结合范围B∈（$\frac{π}{2}$，π），可求C为锐角，求得cosC，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式即可得解sinA的值．
（Ⅱ）利用三角形面积公式，及正弦定理，可求AB的值，进而利用正弦定理即可解得BC的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）由cosB=-$\frac{5}{13}$，B∈（0，π），得sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{12}{13}$，（1分）
由cosB=-$\frac{5}{13}$＜0，得B∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴C∈（0，$\frac{π}{2}$），（2分）
所以，由sinC=$\frac{3}{5}$，得cosC=$\frac{4}{5}$，（4分）
所以sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{33}{65}$．（6分）
（Ⅱ）∵S${\;}_{△ABC}=\frac{33}{2}$，可得：$\frac{1}{2}×AB×AC×sinA$=$\frac{33}{2}$，
由（Ⅰ）可得sinA=$\frac{33}{65}$，可得：AB×AC=65，…（8分）
又∵AC=$\frac{AB×sinB}{sinC}$=$\frac{20}{13}$AB，…（10分）
∴$\frac{20}{13}$AB²=65，AB=$\frac{13}{2}$，
∴BC=$\frac{AB×sinA}{sinC}$=$\frac{11}{2}$…（12分）

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．