Question

（本题满分12分）

设函数，

 (1)  如果且对任意实数均有,求的解析式；

 (2)  在(1)在条件下, 若在区间是单调函数,求实数的取值范围；

 (3)  已知且为偶函数，如果，求证：．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）的取值范围是；

（3） ．

【解析】

试题分析： (1) 根据二次函数的函数值f(1)=0和函数值恒大于等于零得到及解析式。

 (2)  在(1)在条件下,要是函数单调递增，则根据对称轴与定义域的关系分类讨论得到。

 (3)  结合奇偶性的性质，以及函数单调性得到不等式的证明。

解（1）∵，∴（1分）

对任意实数均有恒成立，

即对任意实数均有恒成立（2分）

当时，，这时,，它不满足恒成立（3分）

当时，则且

   ,（4分）

从而,∴（5分）

（2）由（1）知

∴=（6分）

在区间是单调函数

或，即或

的取值范围是（7分）

（3） ∵是偶函数，∴（8分）

故,    （9分）

∵,∴当时

中至少有一个正数，即都是正数或一个正数，一个负数

若都是正数，则，所以（10分）

若一个正数，一个负数，不妨设，又

则=（11分）

综上可得，．（12分）

考点：本题主要考查了二次函数与分段函数的性质运用。

点评：解决该试题的关键是能通过解析式的特点以及二次函数的性质，来得到判别式小于等于零，从而得到解析式。