Question

【题目】已知函数．

(1)若，证明：当；

(2)设，若函数上有2个不同的零点，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

(1) 当a=1时.. 明确单调性求出最大值即可；(2)，讨论a的范围，易知当时，没有零；当时，研究函数的单调性，明确图象与x轴的交点情况即可.

（1）当a=1时..

.

因为，所以，

所以在时单调递减，

所以，即.

（2）法一：

（i）当时，没有零；

（ii）当时，，

当时，；当时，.

所以在上单调递减，在上单调递增.

故是在上的最小值

①若，即时，在上没有零点；

②若，即时，在上只有1个零点；

③若，即时，由于，所以在（0，2）上有1个零点，

由（1）知，当时，，

因为，

所以.

故在（2，4a）上有1个零点，因此在上有2个不同的零点。

综上，在上有2个不同的零点时，a的取值范围是.

法二：因为，

所以在上零点的个数即为方程在上根的个数。

令.

则，

令得x=2.

当时，，当时，，

所以当时，单调递增，

当时，单调递减，

所以在上的最大值为，

由（1）知，当时，，

即当时，

因为当x无限增大时，→0，所以当x无限增大时，→0，

又因为，所以当且仅当时，

函数在上的图象与直线恰好有2个不同的交点，

即当且仅当a>一时，函数h（x）在（0，+oo）上有2个不同的零点，

故在上有2个不同的零点时，a的取值范围是