Question

【题目】已知函数f（x）=x3+ ，x∈[0，1]．
（1）用分析法证明：f（x）≥1﹣x+x2；
（2）证明：f（x）≤ ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：（1）由x∈[0，1]，

则x+1∈[1，2]，

要证f（x）≥1﹣x+x2，

只需证x3（x+1）+1≥（x+1）（1﹣x+x2），

只需证x4+x3+1≥x3+1，

只需证x4≥0，显然成立，

∴f（x）≥1﹣x+x2

（2）解：≤x≤1，∴x3≤x，

∴f（x）≤x+ ，

设g（x）=x+ ，x∈[0，1]，

∴g′（x）=1﹣ = ≥0，

∴g（x）在[0，1]上单调递增，

∴f（x）≤g（1）=

【解析】（1）利用分析法证明即可，（2）先放缩得到f（x）≤x+ ，再构造函数g（x）=x+ ，x∈[0，1]，利用函数的单调性和最值得关系即可证明．