Question

矩形PQRS的两条对角线相交于点M（1，0），PQ边所在的直线方程为x-y-2=0，原点O（0，0）在PS边所在直线上，
（1）矩形PQRS外接圆的方程；
（2）设A（0，t），B（0，t+6）（-5≤t≤-2），若（1）的圆是△ABC的内切圆，求△ABC的面积S的最大值和最小值．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）由已知得k_PR=-1，l_PR：y=x，又l_PQ：x-y-2=0，则r=|PM|=1，由此能求出圆的方程．
（2）设l_AC：kx-y+t=0，由已知得lAC：y=

1-t2

2t

x+t，同理lBC：y=

1-(t+6)2

2(t+6)

x+(t+6)，联立得x=

2t(t+6)

1+t(t+6)

，由此能求出△ABC的面积S的最大值和最小值．

解答： 解：（1）由已知k_PQ=1又k_PQ•k_PR=-1，
∴k_PR=-1，
∴l_PR：y=x，
又l_PQ：x-y-2=0，∴P（1，-1），
则r=|PM|=1，
∴圆的方程为（x-1）²+y²=1．
（2）设l_AC：y=kx+t，
即kx-y+t=0，
由已知

|k+t|

k2+1

=1k=

1-t2

2t

，
∴lAC：y=

1-t2

2t

x+t，
同理lBC：y=

1-(t+6)2

2(t+6)

x+(t+6)，
联立得x=

2t(t+6)

1+t(t+6)

，
∴S=

1

2

[(t+6)-t]•

2t(t+6)

1+t(t+6)

=

6t(t+6)

1+t(t+6)

=

6

1+ 1 t(t+6)

，
∵-5≤t≤-2，∴t（t+6）=（t+3）²-9∈[-9，-5]，
∴-

1

5

≤

1

t(t+6)

≤-

1

9

，∴

27

4

≤

6

1+ 1 t(t+6)

≤

15

2

，
当t=-3时，S有最小值

27

4

，
当t=-5时，S有最小值

15

2

．

点评：本题考查矩形外接圆半径的求法，考查三角形的面积的最大值和最小值的求法，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．