Question

1．已知数列{a_n}（n∈N^*）是各项均为正数且公比不等于1的等比数列，对于函数y=f（x），若数列{lnf（a_n）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的三个函数：①f（x）=$\frac{1}{x}$；②f（x）=e^x；③f（x）=$\sqrt{x}$；④f（x）=2x，则为“保比差数列函数”的是（　　）

• A． ③④
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ①③

Answer 1

分析 设数列{a_n}的公比为q（q≠1），利用保比差数列函数的定义，验证数列{lnf（a_n）}为等差数列，即可得到结论．

解答 解：设数列{a_n}的公比为q（q≠1）
①由题意，lnf（a_n）=ln$\frac{1}{{a}_{n}}$，∴lnf（a_n+1）-lnf（a_n）=ln$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-ln$\frac{1}{{a}_{n}}$=ln$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=-lnq是常数，∴数列{lnf（a_n）}为等差数列，满足题意；
②由题意，lnf（a_n）=ln${e}^{{a}_{n}}$，∴lnf（a_n+1）-lnf（a_n）=ln${e}^{{a}_{n+1}}$-ln${e}^{{a}_{n}}$=a_n+1-a_n不是常数，∴数列{lnf（a_n）}不为等差数列，不满足题意；
③由题意，lnf（a_n）=ln$\sqrt{{a}_{n}}$，∴lnf（a_n+1）-lnf（a_n）=ln$\sqrt{{a}_{n+1}}$-ln$\sqrt{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$lnq是常数，∴数列{lnf（a_n）}为等差数列，满足题意；
④由题意，lnf（a_n）=ln（2a_n），∴lnf（a_n+1）-lnf（a_n）=ln（2a_n+1）-ln（2a_n）=lnq是常数，∴数列{lnf（a_n）}为等差数列，满足题意；
综上，为“保比差数列函数”的所有序号为①③④
故选：C．

点评 本题考查新定义，考查对数的运算性质，考查等差数列的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．