Question

1．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）上一点A（1，m）到其焦点的距离为2
（1）求常数p和m的值
（2）当m＜0时，是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于$\frac{\sqrt{5}}{5}$？若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线的定义，建立方程，求出p，则抛物线方程可得，进而点A（1，m）代入，求得m的值
（2）先假设存在符合题意的直线，设出其方程，与抛物线方程联立，根据直线与抛物线方程有公共点，求得t的范围，利用直线AO与L的距离，求得t，则直线l的方程可得．

解答 解：（1）∵抛物线C：y²=2px（p＞0）上一点A（1，m）到其焦点的距离为2，
∴1+$\frac{p}{2}$=2，∴p=2
∴抛物线C的方程为：y²=4x，
点A（1，m）代入，可得m=±2；
（2）由题意点A（1，-2），假设存在符合题意的直线l，其方程为y=-2x+t，
与y²=4x联立，整理得y²+2y-2t=0，
∵直线l与抛物线有公共点，
∴△=4+8t≥0，解得t≥-$\frac{1}{2}$
又∵直线OA与L的距离d=$\frac{|t|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求得t=±1，
∵t≥-$\frac{1}{2}$，
∴t=1，
∴符合题意的直线l存在，方程为2x+y-1=0．

点评 本题主要考查了直线，抛物线等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查抛物线的定义，属于中档题．