Question

已知f(x)=log4(4+

4x

1+x2

)，x∈R，定义[x]表示不超过x的最大整数，则函数y=[f（x）]的值域是

{0，1}

．

Answer 1

分析：利用基本不等式求得 2≤4+

4x

1+x2

≤6，可得 log₄2≤log4(4+

4x

1+x2

)≤log₄6，由此求得f（x）的值域，从而求得函数y=[f（x）]的值域．

解答：解：由于当x＞0时，利用基本不等式可得4+

4x

1+x2

≤6．
当x=0时，4+

4x

1+x2

=4．
当x＜0时，由于

-4x

1+x2

≤2，故 4+

4x

1+x2

=4-

-4x

1+x2

≥4-2．
综上可得，2≤4+

4x

1+x2

≤6，∴log₄2≤log4(4+

4x

1+x2

)≤log₄6．
而log₄2∈（0，1），log₄6∈（1，2），
故[log4(4+

4x

1+x2

)]=0 或 1，即函数y=[f（x）]的值域是 {0，1}，
故答案为 {0，1}．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质、以及基本不等式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．