Question

已知函数f(x)＝ax²－2x＋lnx.

(1)若f(x)无极值点，但其导函数f′(x)有零点，求a的值；

(2)若f(x)有两个极值点，求a的取值范围，并证明f(x)的极小值小于－.

Answer 1

解析　(1)首先，x>0，

f′(x)＝2ax－2＋＝，

f′(x)有零点而f(x)无极值点，表明该零点左右f(x)同号，故a≠0，且2ax²－2x＋1＝0的Δ＝0.由此可得a＝.

(2)由题意，2ax²－2x＋1＝0有两不同的正根，故Δ>0，a>0.解得0<a<.

设2ax²－2x＋1＝0有两根为x₁，x₂，不妨设x₁<x₂，因为在区间(0，x₁)，(x₂，＋∞)上，f(x)>0，而在区间(x₁，x₂)上，f(x)<0，故x₂是f(x)的极小值点．

因f(x)在区间(x₁，x₂)上f(x)是减函数，如能证明f()<－.

由韦达定理，＝，f()＝a()²－2()＋ln＝ln－·.

令＝t，其中t>1.设g(t)＝lnt－t＋，利用导数容易证明g(t)．

当t>1时单调递减，而g(1)＝0，因此g(t)<0，即f(x)的极小值f(x₂)<0.

(2)另证：实际上，我们可以用反代的方式证明f(x)的极小值均小于－.

由于两个极值点是方程2ax²－2x＋1＝0的两个正根，所以反过来，a＝(用x₁表示a的关系式与此相同)，这样f(x₂)＝ax－2x₂＋lnx₂＝

即f(x₂)＝lnx₂－x₂－，再证明该式小于－是容易的(注意x₂≠1，下略).