Question

在直角坐标系xOy中，长为的线段的两端点C、D分别在x轴、y轴上滑动，．记点P的轨迹为曲线E．
（I）求曲线E的方程；
（II）经过点（0，1）作直线l与曲线E相交于A、B两点，，当点M在曲线E上时，求四边形OAMB的面积．

Answer 1

解：（Ⅰ）设C（m，0），D（0，n），P（x，y）．
由=，得（x-m，y）=（-x，n-y），
∴．
由||=+1，得m²+n²=（+1）²，

∴（+1）²x²+y²=（+1）²，
整理，得曲线E的方程为x²+=1．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由=+，知点M坐标为（x₁+x₂，y₁+y₂）．
设直线l的方程为y=kx+1，代入曲线E方程，
得（k²+2）x²+2kx﹣1=0，
则x₁+x₂=﹣，x₁x₂=﹣，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2=，
由点M在曲线E上，知（x₁+x₂）2+=1，
即，解得k²=2．
这时|AB|===，
原点到直线l的距离d==，
平行四边形OAMB的面积S=|AB|d=．