Question

某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。
（Ⅰ）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（Ⅱ）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。

Answer 1

（Ⅰ）海里/小时（Ⅱ）方案如下：航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇.

试题分析：（I）设相遇时小艇航行的距离为S海里，则

=
=，
故当时，，此时，
即小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小。

（II）设小艇与轮船在B出相遇，则
，
故，
，，
即，解得，
又时，，
故时，t取最小值，且最小值等于，
此时，在中，有，故可设计方案如下：
航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇.
点评：正弦定理和余弦定理在解三角形中应用十分广泛，要准确灵活应用，应用正弦定理时要注意解的个数问题.