Question

【题目】已知函数.

（1）判断函数的奇偶性；

（2）判断并证明)在）上的单调性；

（3）若对任意恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）为奇函数；（2）证明见解析；（3）.

【解析】试题分析：

本题考查函数奇偶性的判断和单调性的证明，以及根据恒成立问题求参数取值范围。（1）根据奇偶性的判断方法证明。（2）根据单调性的判断方法证明。（3）根据函数的单调性将函数不等式转化为一般不等式，通过分离参数的方法转化为求具体函数的最值问题处理。

试题解析：

（1）定义域R关于原点对称，

∵,

为奇函数.

（2）证明：设R，且，

，

∵函数 在 上为增函数，

,故，

.

∴函数在上是增函数 .

（3）

，

又为奇函数，

，

∵在上是增函数，

∴对任意恒成立，

∴对任意恒成立，

设，则，

∵在上为增函数，

∴当时，函数取得最小值，且。

∴。

故实数的取值范围为。