Question

【题目】若a≥0，试讨论函数g（x）=lnx+ax2﹣（2a+1）x在（0，+∞）上的单调性．

Answer 1

【答案】解： = ．

∵函数g（x）的定义域为（0，+∞），

∴当a=0时， ，

由g'（x）＞0，得0＜x＜1，由g'（x）＜0，得x＞1．

即函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；

当a＞0时，令g'（x）=0，得x=1或 ．

若 ，即 时，

由g'（x）＞0，得x＞1或 ，由g'（x）＜0，得 ．

即函数g（x）在 ，（1，+∞）上单调递增，在 单调递减；

若 ，即 时，

由g'（x）＞0，得 或0＜x＜1，由g'（x）＜0，得 ．

即函数g（x）在（0，1）， 上单调递增，在 单调递减；

若 ，即 时，在（0，+∞）上恒有g'（x）≥0．

即函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．

综上所述：

当a=0时，函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；

当 时，函数g（x）在（0，1）上单调递增，

在 单调递减；在 上单调递增；

当 时，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，

当 时，函数g（x）在 上单调递增，

在 单调递减；在（1，+∞）上单调递增．

【解析】求出函数的导函数，求得导函数的零点，然后对a分类分析导函数在各区间段内的符号，得到原函数的单调区间．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．