Question

3．已知F₁，F₂分别是双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的左、右焦点，A为双曲线右支上一点，且2$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{O{F}_{1}}$，2$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$，则|$\overrightarrow{OQ}$|-|$\overrightarrow{OP}$|=3．

Answer 1

分析 设A（m，n），m＞0，求得双曲线的a，b，c，以及焦点的坐标，运用向量的坐标运算，可得P，Q的坐标和向量OQ，OP的模，由双曲线的定义，即可得到所求值．

解答 解：设A（m，n），m＞0，
F₁，F₂分别是双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的左、右焦点，
可得a=3，b=2，c=$\sqrt{9+4}$=$\sqrt{13}$，
则F₁（-$\sqrt{13}$，0），F₂（$\sqrt{13}$，0），
且2$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{O{F}_{1}}$，2$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$，
可得2$\overrightarrow{OP}$=（m-$\sqrt{13}$，n），2$\overrightarrow{OQ}$=（m+$\sqrt{13}$，n），
则|$\overrightarrow{OQ}$|-|$\overrightarrow{OP}$|=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{（m+\sqrt{13}）^{2}+{n}^{2}}$-$\sqrt{（m-\sqrt{13}）^{2}+{n}^{2}}$）
表示A点到两焦点的距离之差的一半．
由双曲线的定义可得|$\overrightarrow{OQ}$|-|$\overrightarrow{OP}$|=$\frac{1}{2}$•2a=a=3．
故答案为：3．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是定义法的运用，以及向量的坐标运算和模的求法，考查运算能力，属于中档题．