Question

（2012•许昌三模）如图，圆O的直径AB=d，P是AB延长线上一点，Bp=a，割线PCD交圆O于点C、D，过点P作AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F．
（Ⅰ）求证：∠PEC=∠PDF；
（Ⅱ）求PE•PF的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用AB是圆O的直径，可得∠ACB=∠APE=90°，从而P、B、C、E四点共圆，又A，B，C，D四点共圆，利用四点共圆的性质，可得结论；
（Ⅱ）证明D，C，E，F四点共圆，利用割线定理，即可求得结论．

解答：（Ⅰ）证明：连接BC，∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=∠APE=90°，即P，B，C，E四点共圆，
∴∠PEC=∠CBA．
又A，B，C，D四点共圆，∴∠CBA=PDF，
∴∠PEC=∠PDF；
（Ⅱ）解：∵∠PEC=∠PDF，∴D，C，E，F四点共圆
∴PE•PF=PC•PD=PB•PA=a（a+d）．

点评：本题考查圆的性质，考查四点共圆的判定，考查割线的性质，属于中档题．