Question

8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的最小值是-1，最小正周期为2π，其图象经过点M（$\frac{π}{3}$，$\frac{1}{2}$）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知f（α+β）=-$\frac{3}{5}$，f（α-β）=$\frac{4}{5}$，求tanαtanβ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依题意可求A，T，利用周期公式可求ω，由sin（$\frac{π}{3}$+φ）=$\frac{1}{2}$，结合范围0＜φ＜π，求得φ，从而可求f（x）的解析式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）利用两角和与差的余弦函数公式可求cosαcosβ，sinαsinβ的值，利用同角三角函数基本关系式可求tanαtanβ的值．

解答 解：（Ⅰ）依题意有A=1，T=2π=$\frac{2π}{ω}$，解得：ω=1，
则f（x）=sin（x+φ），…（2分）
将点M（$\frac{π}{3}$，$\frac{1}{2}$）代入得sin（$\frac{π}{3}$+φ）=$\frac{1}{2}$，
而0＜φ＜π，
∴$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{5π}{6}$，
∴φ=$\frac{π}{2}$，…（4分）
故f（x）=sin（x+$\frac{π}{2}$）=cosx，…（6分）
（Ⅱ）依题意有cos（α+β）=-$\frac{3}{5}$，cos（α-β）=$\frac{4}{5}$，
所以cosαcosβ-sinαsinβ=-$\frac{3}{5}$，cosαcosβ+sinαsinβ=$\frac{4}{5}$，…（8分）
所以cosαcosβ=$\frac{1}{10}$，sinαsinβ=$\frac{7}{10}$，
因此tanαtanβ=7．…（12分）

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了两角和与差的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．