Question

已知：|

a

|=5，|

b

|=4，且

a

与

b

的夹角为60°，问当且仅当k为何值时，向量k

a

-

b

与

a

+2

b

垂直？

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,平面向量及应用

分析：由向量的数量积的定义可得向量a，b的数量积，再由两向量垂直的条件和向量的平方即为模的平方，化简可得k的方程，解出即可．

解答： 解：∵|

a

|=5，|

b

|=4，且

a

与

b

的夹角为60°，
∴

a

•

b

=5×4×cos60°=10．
∵（k

a

-

b

）⊥（

a

+2

b

）
∴（k

a

-

b

）•（

a

+2

b

）=0，
即k

a

²+（2k-1）

a

•

b

-2

b

²=0，
∴k×5²+（2k-1）×10-2×4²=0，
∴k=

14

15

．
故当且仅当k为

14

15

时，向量k

a

-

b

与

a

+2

b

垂直．

点评：本题考查平面向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，以及向量垂直的条件，考查运算能力，属于中档题．