Question

11．设关于x的方程x²+（m-3）x+3-2m=0的两个实数根为α、β，求：（α-2）²+（β-2）²的最小值．

Answer 1

分析 根据△≥0求出m的取值范围，再由根与系数的关系求出函数u=（α-2）²+（β-2）²的最小值即可．

解答 解：∵α、β为方程的两个实数根，
∴△=（m-3）²-4（3-2m）≥0，
解得m≤-3或m≥1；
设u=（α-2）²+（β-2）²=（α+β）²-4（α+β）-2αβ+8，
且α+β=3-m，αβ=3-2m，
∴u=（3-m）²-4（3-m）-2（3-2m）+8
=（m+1）²+4，
又∵m≤-3或m≥1，
∴当m=-3或1时，u取得最小值u_min=8．

点评 本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及函数的最值问题，也考查了转化思想的应用问题，是综合性题目．