Question

关于函数f(x)=sin2x-(

2

3

)|x|+

1

2

有下列四个个结论：
①f（x）是奇函数．
②当x＞2003时，f(x)＞

1

2

．
③f（x）的最大值是

3

2

．
④f（x）的最小值是-

1

2

．
其中正确结论的序号是

④

．

Answer 1

分析：依次分析命题：①运用f（-x）和f（x）关系，判定函数的奇偶性；②取特殊值法，判定不等式是否成立；③④运用
sin²x=

1-cos2x

2

进行转化，然后利用cos2x和（

2

3

）^|x|，求函数f（x）的最值，综合可得答案．

解答：解：∵函数f(x)=sin2x-(

2

3

)|x|+

1

2

满足f（-x）=sin²x-(

2

3

)|x|+

1

2

=f（x），故f（x）是偶函数，故①不正确．
对于结论②，取特殊值当x=1000π时，x＞2003，sin²1000π=0，且（

2

3

）^1000π＞0，
∴f（1000π）=

1

2

-（

2

3

）^1000π＜

1

2

，因此结论②错．
对于结论③，又f（x）=

1-cos2x

2

-（

2

3

）^|x|+

1

2

=1-

1

2

cos2x-（

2

3

）^|x|，-1≤cos2x≤1，
∴-

1

2

≤1-

1

2

cos2x≤

3

2

，（

2

3

）^|x|＞0．故1-

1

2

cos2x-（

2

3

）^|x|＜

3

2

，即结论③错．
对于④，而cos2x，（

2

3

）^|x|在x=0时同时取得最大值，
所以f（x）=1-

1

2

cos2x-（

2

3

）^|x|在x=0时可取得最小值-

1

2

，即结论④是正确的．
故答案为 ④．

点评：本题以具体函数为载体，考查了函数奇偶性的判断及借助不等式知识对函数值域范围进行判断，涉及到函数奇偶性的判断，同时还涉及到三角函数、指数函数的范围问题，利用不等式的放缩求新函数的范围，综合性强，属于中档题．