Question

3．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=2-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；
（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）由ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，能求出曲线C的直角坐标方程；直线l消去参数能求出直线l的普通方程；（2）画出C和l的图象，得到A、B的坐标，求出|AB|的长即可．

解答 解：（1）∵曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，∴ρ²=2ρcosθ，
∴曲线C的直角坐标方程是x²+y²-2x=0；
∵直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=2-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），
∴消去参数得直线l的普通方程是：x+y-2=0；
（2）曲线C：（x-1）²+y²=1，如图示：
，
显然A（1，1），B（2，0），
∴|AB|=$\sqrt{{（1-2）}^{2}{+（1-0）}^{2}}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程的互化以及应用问题，解题时先把参数方程、极坐标方程化为普通方程，再解答问题，是中档题．