【题目】设函数.
(1)若,求曲线
在
处的切线方程;
(2)若当时,
,求
的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
.
【解析】试题分析: (1)由已知条件求出,由点斜式求出切线方程; (2)构造函数
,由
,通过转化为证明
在
上为增函数,求出
的范围.
试题解析:(Ⅰ)当时,
,
则,所以
,
又,所以曲线
在
处的切线方程为
.,即
.
(Ⅱ)由得
,而
,
所以,设函数
,
于是问题 转化为,对任意的
恒成立.
注意到,所以若
,则
单调递增,
从而.而
,
所以等价于
,
分离参数得,
由均值不等式可得,
当且仅当时等号成立,于是
.
当时,设
,
因为,又抛物线
开口向上,
所以函数有两个零点,
设两个零点为,则
,
于是当时,
,故
,所以
单调递减,故
,这与题设矛盾,不合题意.
综上, 的取值范围是
.
点睛:本题主要考查了导数的几何意义及恒成立问题转化为求函数的最小值,属于中档题.在(1)中,导数的几何意义是函数在某一点处切线的斜率,所以本题求切线方程是容易题;在(2)中,注意等价转化,转化为求函数在
上为增函数,分离出参数
,求
的最大值.得到
的范围.
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【题目】为了降低能源消耗,某冷库内部要建造可供使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为4万元,又知该冷库每年的能源消耗费用(单位:万元)与隔热层厚度
(单位:
)满足关系
,若不建隔热层,每年能源消耗为8万元.设
为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求的值及
的表达式;
(2)隔热层修建多厚时,总费用达到最小?并求最小值.
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【题目】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时.研究表明:当时,车流速度
是车流密度
的一次函数.
(1)当时,求函数
的表达式;
(2)当车流密度为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)
可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时)
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【题目】下列程序运行后,a,b,c的值各等于什么?
(1)_____________________________________________________________.
(2)_____________________________________________________________.
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【题目】将圆上每一点的纵坐标不变,横坐标变为原来的
,得曲线C.
(Ⅰ)写出C的参数方程;
(Ⅱ)设直线l: 与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1 P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数.
⑴求函数的单调区间;
⑵如果对于任意的,
恒成立,求实数
的取值范围;
⑶设函数,
.过点
作函数
的图象
的所有切线,令各切点的横坐标构成数列,求数列
的所有项之和
的值.
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