Question

设函数f(x)=

a•2x-1

1+2x

是实数集R上的奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断f（x）在R上的单调性并加以证明；
（3）求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）直接根据f（-x）=-f（x），整理即可得到结论．
（2）直接根据单调性的证明过程证明即可．
（3）先对原函数分离常数，再借助于指数函数的最值即可得到结论．（也可以采用反函数的思想）．

解答：解：（1）∵f（x）是R上的奇函数
∴f（-x）=-f（x），
即

a•2-x-1

1+2-x

=-

a•2x-1

1+2x

，即

a-2x

1+2x

=

1-a•2x

1+2x

即（a-1）（2^x+1）=0
∴a=1
（或者∵f（x）是R上的奇函数∴f（-0）=-f（0），∴f（0）=0．∴

a•20-1

1+20

=0．，解得a=1，然后经检验满足要求．）
（2）由（1）得f(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

设x₁＜x₂∈R，则f（x₁）-f（x₂）=（1-

2

2x1+1

）-（1-

2

2x2+1

）
=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂
∴2x1＜2x2
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
所以f（x）在R上是增函数
（3）f(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
∵2^x+1＞1，∴0＜

1

2x+1

＜1，
∴0＜

2

2x+1

＜2，
∴-1＜1-

2

2x+1

＜1
所以f(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

的值域为（-1，1）
或者可以设y=

2x-1

2x+1

，从中解出2^x=

1+y

1-y

，所以

1+y

1-y

＞0，所以值域为（-1，1）

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、指数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力与化归与转化思想．属于中档题．