工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务.每次只派一个人进去.且每个人只派一次.工作时间不超过10分钟.如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出.再派下一个人.现在一共只有甲.乙.丙三个人可派.他们各自能完成任务的概率分别.假设互不相等.且假定各人能否完成任务的事件相互独立. (Ⅰ)如果按甲在先.乙次之.丙最后的顺序派人.求任务能被完� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

(本题满分13分)

工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别，假设互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.

（Ⅰ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？

（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为，其中是的一个排列，求所需派出人员数目的分布列和均值（数学期望）；

（Ⅲ）假定，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小，并证明之。

【解析】：（Ⅰ）无论怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是，所以任务能被完成的概率为=

（Ⅱ）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为时，所需派出人员数目的分布列为

	1	2	3
P

所需派出人员数目的均值（数字期望）是

（Ⅲ）（方法一）由（2）的结论知，当一甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，=，

依据常理，优先派出完成任务概率最大的人，可减少派出人员数目的均值.

下面证明：对与，，的任意排列，，，都有≥.

事实上，

≥≥0，

即≥成立.

（方法二）：①可将（Ⅱ）中所求的改写为，若交换前两人的派出顺序，则变为，可见，当时，交换前两人的派出顺序可减少均值;

②也可将（Ⅱ）中所求的改写为，交换后两人的派出顺序，则变为，由此可见，若保持派出的人选不变，当时，交换后两人的派出顺序也可减少均值.

综合①②可知，当（，，）=（，，）时，达到最小，

即完成任务概率最大的人优先派出，可减少所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的.

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