Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点为F（1，0），短轴的端点分别为B₁，B₂，且

FB1

•

FB2

=-a．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F且斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于M，N两点，弦MN的垂直平分线与x轴相交于点D．设弦MN的中点为P，试求

|DP|

|MN|

的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由题意不妨设B₁（0，-b），B₂（0，b），则

FB1

=(-1，-b)，

FB2

=(-1，b)．
∵

FB1

•

FB2

=-a，∴1-b²=-a，又∵a²-b²=1，解得a=2，b=

3

．
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）由题意得直线l的方程为y=k（x-1）．
联立

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

．
∴弦MN的中点P(

4k2

3+4k2

，

-3k

3+4k2

)．
∴|MN|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[ 64k2 (3+4k2)2 - 4(4k2-12) 3+4k2 ]

=

12(k2+1)

4k2+3

．
直线PD的方程为y+

3k

4k2+3

=-

1

k

(x-

4k2

4k2+3

)．
∴|DP|=

3 k2(k2+1)

4k2+3

．
∴

|DP|

|MN|

=

3 k2(k2+1) 4k2+3

12(k2+1) 4k2+3

=

1

4

k2 k2+1

=

1

4

1- 1 k2+1

．
又∵k²+1＞1，∴0＜

1

k2+1

＜1，
∴0＜

1

4

1- 1 k2+1

＜

1

4

．
∴

|DP|

|MN|

的取值范围是(0，

1

4

)．